パレート分布（Pareto）
パレートとは
パレート分布（Pareto Distribution） は、 極端な値（非常に大きなもの）がまれに出現するような現象に適した分布です。
- 「右裾が極端に長い」非対称分布
- 富の偏り・都市人口・地震エネルギー などに適用
- 地震解析では特に Energy（エネルギー） 分布に使用
定義
最小値 $x_m > 0$、形状母数 $\alpha > 0$ のとき：
$$ f(x; \alpha, x_m) = \frac{\alpha x_m^\alpha}{x^{\alpha+1}} \quad (x \geq x_m) $$
- $x_m$：分布の下限（地震エネルギーの最小値など）
- $\alpha$：形状（傾き）パラメータ
特性
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 範囲 | $x \geq x_m$ のみ定義 |
| 非対称 | 極端に右裾が長い |
| 平均 | $\alpha > 1$ のとき存在：$\frac{\alpha x_m}{\alpha - 1}$ |
| 分散 | $\alpha > 2$ のとき存在：$\frac{\alpha x_m^2}{(\alpha - 1)^2(\alpha - 2)}$ |
| エネルギー型 | $\alpha$ 小さい → 巨大地震が頻出しやすい |
グラフ例（Python）
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.stats import pareto x_m = 1.0 # 最小値 alpha = 2.5 # 形状パラメータ x = np.linspace(x_m, 10, 300) pdf = pareto.pdf(x, b=alpha, scale=x_m) cdf = pareto.cdf(x, b=alpha, scale=x_m) plt.plot(x, pdf, label="PDF") plt.plot(x, cdf, label="CDF") plt.title("パレート分布（α=2.5, xmin=1）") plt.xlabel("x") plt.ylabel("確率") plt.grid(True) plt.legend() plt.show()
応用（ERI）
- Energy（地震エネルギー）の分布フィッティングに最適
- $x_m$ = $10^9$ J 以上などのしきい値でフィット
- 各ブロックごとの $\alpha$ 値を可視化し、
- *「エネルギー規模の偏り」を定量評価 * $\alpha$ が小さいほど、大規模地震の比率が高い**
まとめ
- パレート分布は「右裾が極端に長い」分布
- 形状母数 $\alpha$ の大小で規模分布の偏りを表現
- 地震エネルギーの実測データと非常に相性が良い
- ERI 分析では各地域の地震エネルギー構造を比較可能