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Hazard 関数

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Hazard とは

ハザード関数（Hazard Function） は、 「ある時点まで事象が起きなかったとき、その直後に起きる瞬間的な発生率」を示す関数です。

$$ h(x) = \frac{f(x)}{1 - F(x)} = \frac{f(x)}{\bar{F}(x)} $$

  • 母集団が「生き残っている」ことを前提にした発生率
  • 「条件付き確率密度」とも呼ばれる

定義

- $f(x)$：PDF（確率密度） - $F(x)$：CDF（累積分布） - $\bar{F}(x)$：CCDF（補累積）

$$ h(x) = \frac{f(x)}{\bar{F}(x)} = \frac{f(x)}{1 - F(x)} $$

  • 瞬間的なリスクの評価
  • $x$ における「まだ起きていない前提での発生率」

特性

指標 意味
$h(x) \geq 0$ 発生率は常に 0 以上
増加傾向 危険が高まる（例：老朽化）
減少傾向 初期リスクが高く、後で安定（例：故障初期）

グラフ例（Python）

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import invgauss
 
x = np.linspace(0.1, 5, 300)
pdf = invgauss.pdf(x, mu=1)
ccdf = 1 - invgauss.cdf(x, mu=1)
hazard = pdf / ccdf
 
plt.plot(x, hazard, label="Hazard")
plt.title("逆ガウス分布の Hazard 関数")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("h(x)")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

関連関数との関係

関数 意味 関係式
PDF $f(x)$ 瞬間の密度 $f(x)$
CDF $F(x)$ 累積確率 $\int f(x)dx$
CCDF $\bar{F}(x)$ 超過確率 $1 - F(x)$
Hazard $h(x)$ 条件付き発生率 $\frac{f(x)}{\bar{F}(x)}$

応用（ERI）

  • Δt（発生間隔）のリスク評価：
    • 「○日経過後に起きる確率」の増減を視覚化
    • 発生リスクが時間と共に増加 or 減少する傾向を定量化
  • 信頼性解析との併用で、長期静穏期・再発予測に有効

まとめ

  • ハザード関数は「まだ起きていない前提での瞬間発生率」
  • $f(x)$（PDF）と $\bar{F}(x)$（CCDF）の比で定義
  • 地震間隔のリスク評価や予兆解析に活用

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