逆ガウス分布（Inverse Gaussian）
逆ガウスとは
逆ガウス分布（Inverse Gaussian Distribution） は、 正の実数上で定義される非対称な連続分布で、 特に「待ち時間」「発生間隔（Δt）」などのモデリングに適します。
- 平均 μ、形状母数 λ の2パラメータ分布
- 非対称な裾を持ち、初期にピーク → ゆっくり減衰
定義
平均 $\mu > 0$、形状母数 $\lambda > 0$ のとき：
$$ f(x; \mu, \lambda) = \sqrt{\frac{\lambda}{2\pi x^3}} \exp\left( -\frac{\lambda(x - \mu)^2}{2\mu^2 x} \right) $$
- $x > 0$ に対して定義
- $\mu$：分布の中心（平均）
- $\lambda$：山の鋭さ（大きいほど鋭くなる）
特性
| 項目 | 内容 |
|---|---|
| 範囲 | $x > 0$ のみに定義（負の値なし） |
| 非対称 | 左右非対称、右裾が長い |
| 尖度 | $\lambda$ が大 → シャープ、小 → フラット |
| 平均 | $\mu$ |
| 分散 | $\mu^3 / \lambda$ |
| CV | $ \text{CV} = \sqrt{\mu / \lambda}$ |
グラフ例（Python）
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.stats import invgauss x = np.linspace(0.01, 5, 300) mu = 1.0 lam = 3.0 rv = invgauss(mu=mu, scale=lam) plt.plot(x, rv.pdf(x), label="PDF") plt.plot(x, rv.cdf(x), label="CDF") plt.title("逆ガウス分布（μ=1, λ=3）") plt.xlabel("x") plt.ylabel("確率") plt.grid(True) plt.legend() plt.show()
用途・応用
- Δt（地震の発生間隔）の分布モデリングに最適
- 早期にピーク → 長期静穏期の存在を示す形状
- CCDF や Hazard 関数とも組み合わせて使用
- パラメータ推定によりブロック毎の特徴比較が可能
ERI Project 応用例
- 各ブロック内で Δt を逆ガウスでフィッティング
- パラメータ μ・λ（または CV）を地図上に可視化
- CV 値により地震発生の「ばらつき」傾向を定量評価