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CDF（累積分布関数）

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CDF とは

累積分布関数（CDF: Cumulative Distribution Function） は、 確率変数 $X$ が「ある値以下」になる確率を表す関数です。

$$ F(x) = P(X \leq x) $$

  • 値 $x$ 以下の確率を累積
  • 単調非減少（右へ行くほど増加）
  • グラフは 0 から 1 へ上昇

定義

PDF $f(x)$ から CDF $F(x)$ は次式で表されます：

$$ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt $$

  • 面積（= 確率）の累積
  • PDF を積分 → CDF

特性

条件 説明
$0 \leq F(x) \leq 1$ 確率なのでこの範囲内
$F(-\infty) = 0$ 最小ではゼロ
$F(\infty) = 1$ 最大では 1
単調増加 $x$ が増えると $F(x)$ も増える

グラフ例（Python）

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm
 
x = np.linspace(-4, 4, 200)
cdf = norm.cdf(x)
 
plt.plot(x, cdf, label="CDF")
plt.title("正規分布の CDF")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("F(x)")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

PDF との比較

名称 意味 指標
PDF 密度 グラフの高さ
CDF 累積 面積の合計

応用（ERI）

  • Δt（間隔）：
    • 経過時間に対する発生確率
  • Energy（地震エネルギー）：
    • 小規模の蓄積、大規模の稀少性を確認
  • 実データと理論CDF（逆ガウス・パレート等）との比較

まとめ

  • 「ある値以下」の確率を示す
  • 常に 0〜1、右へ行くほど上昇
  • PDF の積分で求まる
  • ERI 分析における傾向把握に有効

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