Hazard 関数
Hazard とは
ハザード関数（Hazard Function） は、 「ある時点まで事象が起きなかったとき、その直後に起きる瞬間的な発生率」を示す関数です。
$$ h(x) = \frac{f(x)}{1 - F(x)} = \frac{f(x)}{\bar{F}(x)} $$
- 母集団が「生き残っている」ことを前提にした発生率
- 「条件付き確率密度」とも呼ばれる
定義
- $f(x)$：PDF（確率密度） - $F(x)$：CDF（累積分布） - $\bar{F}(x)$：CCDF（補累積）
$$ h(x) = \frac{f(x)}{\bar{F}(x)} = \frac{f(x)}{1 - F(x)} $$
- 瞬間的なリスクの評価
- $x$ における「まだ起きていない前提での発生率」
特性
| 指標 | 意味 |
|---|---|
| $h(x) \geq 0$ | 発生率は常に 0 以上 |
| 増加傾向 | 危険が高まる（例：老朽化） |
| 減少傾向 | 初期リスクが高く、後で安定（例：故障初期） |
グラフ例（Python）
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.stats import invgauss x = np.linspace(0.1, 5, 300) pdf = invgauss.pdf(x, mu=1) ccdf = 1 - invgauss.cdf(x, mu=1) hazard = pdf / ccdf plt.plot(x, hazard, label="Hazard") plt.title("逆ガウス分布の Hazard 関数") plt.xlabel("x") plt.ylabel("h(x)") plt.grid(True) plt.legend() plt.show()
関連関数との関係
| 関数 | 意味 | 関係式 |
|---|---|---|
| PDF $f(x)$ | 瞬間の密度 | $f(x)$ |
| CDF $F(x)$ | 累積確率 | $\int f(x)dx$ |
| CCDF $\bar{F}(x)$ | 超過確率 | $1 - F(x)$ |
| Hazard $h(x)$ | 条件付き発生率 | $\frac{f(x)}{\bar{F}(x)}$ |
応用（ERI）
- Δt（発生間隔）のリスク評価：
- 「○日経過後に起きる確率」の増減を視覚化
- 発生リスクが時間と共に増加 or 減少する傾向を定量化
- 信頼性解析との併用で、長期静穏期・再発予測に有効