CDF（累積分布関数）
CDF とは
累積分布関数（CDF: Cumulative Distribution Function） は、 確率変数 $X$ が「ある値以下」になる確率を表す関数です。
$$ F(x) = P(X \leq x) $$
- 値 $x$ 以下の確率を累積
- 単調非減少（右へ行くほど増加）
- グラフは 0 から 1 へ上昇
定義
PDF $f(x)$ から CDF $F(x)$ は次式で表されます：
$$ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt $$
- 面積（= 確率）の累積
- PDF を積分 → CDF
特性
| 条件 | 説明 |
|---|---|
| $0 \leq F(x) \leq 1$ | 確率なのでこの範囲内 |
| $F(-\infty) = 0$ | 最小ではゼロ |
| $F(\infty) = 1$ | 最大では 1 |
| 単調増加 | $x$ が増えると $F(x)$ も増える |
グラフ例（Python）
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.stats import norm x = np.linspace(-4, 4, 200) cdf = norm.cdf(x) plt.plot(x, cdf, label="CDF") plt.title("正規分布の CDF") plt.xlabel("x") plt.ylabel("F(x)") plt.grid(True) plt.legend() plt.show()
PDF との比較
| 名称 | 意味 | 指標 |
|---|---|---|
| 密度 | グラフの高さ | |
| CDF | 累積 | 面積の合計 |
応用（ERI）
- Δt（間隔）：
- 経過時間に対する発生確率
- Energy（地震エネルギー）：
- 小規模の蓄積、大規模の稀少性を確認
- 実データと理論CDF（逆ガウス・パレート等）との比較