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====== PDF（確率密度関数） ======

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===== PDF とは =====
**確率密度関数（PDF: Probability Density Function）** は、
連続型の確率変数において「ある値の周辺にどの程度確率が集中しているか（≒確率の濃さ）」を示す関数です。

> ※連続分布では「ある一点の確率」は常に 0  
> ⇒ その代わり、ある範囲に属する確率を考える（＝PDF を積分）

  * PDF が高い ⇒ その周辺で観測されやすい
  * 面積（積分） ⇒ その範囲の確率

===== 数学的定義 =====
確率変数 $( X )$ の PDF を $f(x) $ としたとき：

$$
P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)\,dx
$$

つまり：
  * 範囲 [a, b] に入る確率は、PDF 曲線下の「面積」
  * PDF の値そのものは確率ではない（注意）

===== PDF の性質 =====

^ 性質 ^ 内容 ^
| $f(x) \geq 0$ | PDF（確率密度関数）は常に 0 以上（負の確率は存在しない） |
| $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1$ | 全体の面積（確率）は 1 |
| $P(X = a) = 0$ | （連続分布では）点の確率は常に 0 |

===== 代表的な PDF =====

==== 正規分布 ====

$$
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)
$$

  * 平均 $( \mu )$
  * 標準偏差 $( \sigma )$
  * 中心に山を持つ左右対称の分布（釣鐘型）

==== ヒストグラム ====

  * 実測データのヒストグラムは、PDF の近似的な表現
  * KDE（カーネル密度推定）を用いると、なめらかな PDF を描画可能

例（Python / seaborn）：

<code python>
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt

sns.kdeplot(data, bw_adjust=0.5)
plt.title("PDF の推定（KDE）")
plt.show()
</code>
===== PDF と CDF の違い =====

^ 概念 ^ 内容 ^
| PDF \( f(x) \) | 確率の密度（グラフの高さ） |
| CDF \( F(x) \) | その点以下の累積確率（面積） |
| 関係式 | \( F(x) = \int_{-∞}^x f(t) dt \) |

===== 応用（ERI Project） =====

  * ERI 地震解析における PDF の活用例：
      * Δt（発生間隔）：
          * 逆ガウス分布のような形状になることが多い
      * ΔE（エネルギー差）：
          * やや広がりのある非対称な分布
      * Energy（地震エネルギー）：
          * 右裾の長いパレート分布型など
      * PDF を可視化することで：
        * データの集中度や外れ値の傾向が一目で分かる
        * 理論分布との適合性の確認が可能

===== まとめ =====

  * PDF は確率の密度（高い＝観測されやすい）
  * PDF の積分が確率（全体面積は 1）
  * 点の確率は常に 0（連続分布の特徴）
  * ERI 分析では Δt・ΔE・Energy などに必須

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