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====== パレート分布（Pareto） ======

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===== パレートとは =====
**パレート分布（Pareto Distribution）** は、  
**極端な値**（非常に大きなもの）がまれに出現するような現象に適した分布です。

  * 「**右裾が極端に長い**」非対称分布
  * 富の偏り・都市人口・地震エネルギー などに適用
  * 地震解析では特に **Energy（エネルギー）** 分布に使用

===== 定義 =====

最小値 $x_m > 0$、形状母数 $\alpha > 0$ のとき：

$$
f(x; \alpha, x_m) = \frac{\alpha x_m^\alpha}{x^{\alpha+1}} \quad (x \geq x_m)
$$

  * $x_m$：分布の下限（地震エネルギーの最小値など）
  * $\alpha$：形状（傾き）パラメータ

===== 特性 =====

^ 項目 ^ 内容 ^
| 範囲 | $x \geq x_m$ のみ定義 |
| 非対称 | 極端に右裾が長い |
| 平均 | $\alpha > 1$ のとき存在：$\frac{\alpha x_m}{\alpha - 1}$ |
| 分散 | $\alpha > 2$ のとき存在：$\frac{\alpha x_m^2}{(\alpha - 1)^2(\alpha - 2)}$ |
| エネルギー型 | $\alpha$ 小さい → 巨大地震が頻出しやすい |

===== グラフ例（Python） =====

<code python>
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import pareto

x_m = 1.0     # 最小値
alpha = 2.5   # 形状パラメータ
x = np.linspace(x_m, 10, 300)

pdf = pareto.pdf(x, b=alpha, scale=x_m)
cdf = pareto.cdf(x, b=alpha, scale=x_m)

plt.plot(x, pdf, label="PDF")
plt.plot(x, cdf, label="CDF")
plt.title("パレート分布（α=2.5, xmin=1）")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("確率")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()
</code>

===== 応用（ERI） =====

  * **Energy（地震エネルギー）**の分布フィッティングに最適
  * $x_m$ = $10^9$ J 以上などのしきい値でフィット
  * 各ブロックごとの $\alpha$ 値を可視化し、  
    **「エネルギー規模の偏り」**を定量評価
  * $\alpha$ が小さいほど、**大規模地震の比率が高い**

===== まとめ =====

  * パレート分布は「右裾が極端に長い」分布
  * 形状母数 $\alpha$ の大小で規模分布の偏りを表現
  * 地震エネルギーの実測データと非常に相性が良い
  * ERI 分析では各地域の地震エネルギー構造を比較可能

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