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====== Hazard 関数 ======

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===== Hazard とは =====
**ハザード関数（Hazard Function）** は、  
「ある時点まで事象が起きなかったとき、その直後に起きる**瞬間的な発生率**」を示す関数です。

$$
h(x) = \frac{f(x)}{1 - F(x)} = \frac{f(x)}{\bar{F}(x)}
$$

  * 母集団が「生き残っている」ことを前提にした発生率
  * 「条件付き確率密度」とも呼ばれる

===== 定義 =====

- $f(x)$：PDF（確率密度）
- $F(x)$：CDF（累積分布）
- $\bar{F}(x)$：CCDF（補累積）

$$
h(x) = \frac{f(x)}{\bar{F}(x)} = \frac{f(x)}{1 - F(x)}
$$

  * 瞬間的なリスクの評価
  * $x$ における「まだ起きていない前提での発生率」

===== 特性 =====

^ 指標 ^ 意味 ^
| $h(x) \geq 0$ | 発生率は常に 0 以上 |
| 増加傾向 | 危険が高まる（例：老朽化） |
| 減少傾向 | 初期リスクが高く、後で安定（例：故障初期） |

===== グラフ例（Python） =====

<code python>
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import invgauss

x = np.linspace(0.1, 5, 300)
pdf = invgauss.pdf(x, mu=1)
ccdf = 1 - invgauss.cdf(x, mu=1)
hazard = pdf / ccdf

plt.plot(x, hazard, label="Hazard")
plt.title("逆ガウス分布の Hazard 関数")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("h(x)")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()
</code>

===== 関連関数との関係 =====

^ 関数 ^ 意味 ^ 関係式 ^
| PDF $f(x)$ | 瞬間の密度 | $f(x)$ |
| CDF $F(x)$ | 累積確率 | $\int f(x)dx$ |
| CCDF $\bar{F}(x)$ | 超過確率 | $1 - F(x)$ |
| Hazard $h(x)$ | 条件付き発生率 | $\frac{f(x)}{\bar{F}(x)}$ |

===== 応用（ERI） =====

  * Δt（発生間隔）のリスク評価：
    * 「○日経過後に起きる確率」の増減を視覚化
    * 発生リスクが時間と共に増加 or 減少する傾向を定量化
  * 信頼性解析との併用で、長期静穏期・再発予測に有効

===== まとめ =====

  * ハザード関数は「まだ起きていない前提での瞬間発生率」
  * $f(x)$（PDF）と $\bar{F}(x)$（CCDF）の比で定義
  * 地震間隔のリスク評価や予兆解析に活用

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