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====== 逆ガウス分布（Inverse Gaussian） ======

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===== 逆ガウスとは =====
**逆ガウス分布（Inverse Gaussian Distribution）** は、  
正の実数上で定義される**非対称な連続分布**で、  
特に「**待ち時間**」「**発生間隔（Δt）**」などのモデリングに適します。

  * 平均 μ、形状母数 λ の2パラメータ分布
  * 非対称な裾を持ち、初期にピーク → ゆっくり減衰

===== 定義 =====

平均 $\mu > 0$、形状母数 $\lambda > 0$ のとき：

$$
f(x; \mu, \lambda) = \sqrt{\frac{\lambda}{2\pi x^3}} \exp\left( -\frac{\lambda(x - \mu)^2}{2\mu^2 x} \right)
$$

  * $x > 0$ に対して定義
  * $\mu$：分布の中心（平均）
  * $\lambda$：山の鋭さ（大きいほど鋭くなる）

===== 特性 =====

^ 項目 ^ 内容 ^
| 範囲 | $x > 0$ のみに定義（負の値なし） |
| 非対称 | 左右非対称、右裾が長い |
| 尖度 | $\lambda$ が大 → シャープ、小 → フラット |
| 平均 | $\mu$ |
| 分散 | $\mu^3 / \lambda$ |
| CV | $ \text{CV} = \sqrt{\mu / \lambda}$ |

===== グラフ例（Python） =====

<code python>
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import invgauss

x = np.linspace(0.01, 5, 300)
mu = 1.0
lam = 3.0
rv = invgauss(mu=mu, scale=lam)

plt.plot(x, rv.pdf(x), label="PDF")
plt.plot(x, rv.cdf(x), label="CDF")
plt.title("逆ガウス分布（μ=1, λ=3）")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("確率")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()
</code>

===== 用途・応用 =====

  * Δt（地震の発生間隔）の分布モデリングに最適
  * 早期にピーク → 長期静穏期の存在を示す形状
  * CCDF や Hazard 関数とも組み合わせて使用
  * パラメータ推定によりブロック毎の特徴比較が可能

===== ERI Project 応用例 =====

  * 各ブロック内で Δt を逆ガウスでフィッティング
  * パラメータ μ・λ（または CV）を地図上に可視化
  * CV 値により地震発生の「ばらつき」傾向を定量評価

===== まとめ =====

  * 待ち時間や発生間隔の分布に強力
  * 平均 $\mu$・形状母数 $\lambda$ の二変数
  * 非対称で実データとの適合が良好
  * ERI 地震解析では Δt 分布に頻用

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